心形线r=a(1+cosθ)图像(数学史上浪漫数学公式)

画函数的图像通常用三种方法。一是列表-描点法,这是最原始的画法。二是利用函数的性质,包括一阶导数和二阶导数等的性质,判断函数的单调性、奇偶性、周期性和凸性等,结合关键点,如极值点、最值点、拐点、零点、与y轴的交点等,画出函数的图像。最后一种方法是利用计算器软件画出函数图像。这当然是最省力的方法了。

极坐标函数通常很难利用第二种方法画出函数的图像。只能利用第一种方法和第三种方法来画它的图像。

比如r=a(1+cosθ)就是一个极坐标函数,利用计算机软件做出它的图像,是一条心形线。而且这个心有点“胖”,看起来像一个横放的桃子,桃柄的底端就是极点,柄的方向向左,但柄不是图像的一部分。参数a决定了“桃子”的大小,如取a=3,则图像如下:

心形线r=a(1+cosθ)图像(数学史上浪漫数学公式)

如果取a=6,则图像如下:

心形线r=a(1+cosθ)图像(数学史上浪漫数学公式)

也可以用最原始的描点法画出这个极坐标函数的图像。比如,取θ=0, π/6,π/4,π/3,π/2,2π/3,3π/4,5π/6, π……, 并利用图像关于极轴的对称性,画出整个图像。如果点不够,就要自己适当增加一些可以求得余弦值的点,比如π/12,π/8,3π/2等。

至于图像的对称性,我们倒不需要通过作图来观察得到。因为cosθ本身是一个偶函数,而θ和-θ是关于极轴对称的。这就可以推出原函数的图像关于极轴对称了。即r(-θ)=r(θ). 图像就关于极轴对称。

当然,我们也可以尝试把极坐标方程转化成直角坐标系方程。为了描述方便,我们设a=1, 则r=根号(x^2+y^2) , cosθ=x/根号(x^2+y^2) , 从而有:

根号(x^2+y^2)=1+ x/根号(x^2+y^2). 即x^2+y^2=根号(x^2+y^2) +x. 可以发现,这样想要画出函数的图像,也很难判断它的性质,甚至用计算机软件都不容易表示出来。基本上也只能通过描点法来实现了。动手试一试,你会发现这是一件非常麻烦的事情。因为当x取非零的整数时,y基本上都取得一个复杂的无理数。

虽然这样,只要你足够耐心,倒还是可以做到的。因为任意无理数,我们都可以利用勾股定理,在坐标平面上表示出来。

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