一.概念描述
现代数学:截面有很多种,其定义主要如下。
几何体的截面定义:截面是与几何体有关的一种平面图形,即一个平面与一个几何体相交所得到的平面图形。
中截面定义:一种特殊的截面,指在有两平行底面(其中一面或者两面可以退化为点或线段)而其余面夹在两平行底面之间的有限几何体中,平行于底面且与两底面等距的截面。
截面定义:物体切断后呈现出来的表面。如球体的剖面是个圆形,也叫截面。
柱的直截面定义:一种与柱体有关的截面。用垂直于柱体母线的平面去截柱体,如果截面与柱体的所有母线(或侧棱)都相交,那么截线所围成的平面图形,称为柱的直截面。
正棱柱的轴向截面定义:一种与正棱柱有关的截面。通过正棱柱的轴的截面,称为此正棱柱的轴向截面或者轴截面,正棱柱的轴截面都是矩形。
小学数学:截面在现行的小学数学教材中没有明确的定义。究竟什么是横截面,截面的形状与什么有关,教材中没有说明,教学参考书中也没有提到。只是在学习梯形面积时提到过横截面,长方体和正方体、圆柱、圆锥的课后练习中有相关习题。例如“把圆柱、圆锥切成两个部分,截面分别是什么形状?”,对截面的相关知识稍有接触。具体如下:
① 如图,将下面的圆柱切成两部分,切开后的截面各是什么形状?请连一连。
② 如图,将下面的圆锥切成两部分,切开后的截面各是什么形状?请连一连。
二.概念解读
对立体图形的截面,各个版本小学教材均没有安排具体的课时。截面在小学阶段一般是指去切割一个几何体,得到的平面图形叫截面。这个截面可能是圆、椭圆,也可能是三角形、四边形、六边形或其他图形等。
首先,截面包括横截面、竖截面、平截面、直截面、斜截面。横截面是截面的一种。小学阶段提到最多的是横截面,一般是指平行于底面去截。例如圆柱、圆锥的横截面,一般是圆形的。再如长方体的横截面一般是矩形。实际问题中,江河、水库的堤坝的横截面一般可以看成是梯形。其次,同一个几何体被截后的截面形状与所截角度有关。若角度不同,截面形状也会随之变化。
三.教学建议
学生在学习本课前,已经掌握了长方体、正方体、圆柱、圆锥和球等常见的几何体特征,掌握了点、线、面、体四者之间的动态与静态的关系。教师可设计一系列的数学活动,引领学生在活动中深入思考,经历和体会到截面的深刻含义。
(1)数学活动1:切实物,引出截面
教师引导学生:可以把一个苹果、 一个长方体面包、 一根圆往体的萝卜切一刀,这个刚出现的而就叫截面:同时将截面覆盖在纸上描画出截面的平面图形。学生在切的过程中可以直观地看到截面有可能是圆形、正方形、长方形或是其他图形,同时可以直观地发现切一刀增加两个完全一样的截面。
(2)数学活动2:切正方体,体会同一个几何体不同截法(横切、纵切和斜切)形成的不同截面
给以小组为单位学生发切好的正方体土豆块,每组若干个,然后提问:如果任意截这个正方体,切开后截面的形状会是怎样的呢?先想象一下截面的形状,再动手切实物,验证猜想,并比一比看哪个组得到的截面形状多。
截一个正方体,截面可能是:三角形、正方形、长方形、梯形、五边形、六边形(如下图),不能截出七边形,因为正方体只有六个面。整个活动过程中,教师要参与其中,适时进行点拨与指导,及时给予鼓励。
(3)数学活动3:理解截同一个几何体所截角度不同,截面形状也会随之变化
教师提问:我们都是在切割同一个正方体,为什么切割后得到的截面图形的形状不一样呢?教师借助动态课件有序地演示不同的切法,引导学生发现:从不同的角度切一个正方体,得到的截面可以是不同形状的平面图形,平面图形的边数由截面经过的正方体表面的面数决定。如三边形的截面就是因为截面经过了正方体的三个表面形成的,四边形、五边形、六边形截面的获得同理。由此得出结论:正方体的截面可以是三边形到六边形不等。五边形、六边形截面的形成在想象和操作上都有困难,此时动态课件的演示有利于学生表象的积累和空间想象能力的发展。通过学生的亲自操作、教师动态课件的演示、数学的思考和分析,学生就会发现:从正方体不同表面下刀去切,可以得到不同形状的截面。
(4)数学活动4:截一个学过的几何体
该活动旨在引导学生深入理解截同一个几何体所截角度不同,截面形状会不同。对不同的几何体,即使截法相同,也会得到不同的图形。
具体操作中,教师可提问:我们还学习过很多立体图形呢。想一想,如果从不同的部位或不同的方向切圆柱、圆锥、棱柱、球,截面分别是什么形状的呢?请同学们展开想象,把想象出来的截面图形画在纸上,并与同伴交流,看你们的想法一样吗?教师演示动态课件,借助于运动的画面,形象直观地使学生进一步体会到几何体在切截过程中的变化情况。(如下图)
最后教师可以用下表进行小结:
教师还可进行课外延伸,提出截一个几何体的知识在实际生活当中作用很大。
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