最简形矩阵一般指的是行最简形矩阵，它是一种阶梯形的矩阵，是线性代数中的一类特定形式的矩阵，指的是矩阵中非零行的第一个非零元素全是1，且非零行的第一个元素1所在的列的其余元素全是0的矩阵。如矩阵：[1,0,0,3; 0,1,0,-1; 0,0,1,4], 其中元素间用逗号分隔，行与行之间用分号分隔，下同。
最简形矩阵可以用来表示线性方程的解。矩阵的行数表示方程式的个数，列数表示每个方程式的项数，其中最右侧的列表示常数项，只有常数项在方程中等号的右侧。除了表示常数项的列，其余列的数量表示未知数的个数。比如3X4矩阵中，三行表示有三个方程构成的方程组，四列表示有三个未知数和一个常数项。同列元素表示现一个未知数在不同的方程式中的系数。那么把矩阵转化为最简形矩阵的过程，就是解方程的过程。比如关于x,y,z的三元一次方程组，把它们的系数和常数项表示为一个3X4矩阵，转化为行最简形矩阵后，得到[1,0,0,3; 0,1,0,-1; 0,0,1,4]，那么方程组的解就是｛x=3,y=-1,z=4｝.
那么如何才能将矩阵化为最简形矩阵呢？可以利用矩阵的初等变换来实现。矩阵的初等变换包括：(1)对调两行；对应对调两个方程式的先后顺序，结果不变；(2)以非零数k乘以某一行的所有元素；对应某方程两边同时乘以非零的数k，结果不变；(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去；对应解方程组的加减法。
接下来以解四元一次方程组：{2a+3b+d=-4; 2b+2c+3d=-7; a+c+d=0; a+2b-c+3d=-12}为例，来讲解如何利用最简形矩阵解线性方程组，以及如何将矩阵转化为行最简形矩阵。这个方程组的系数构成的矩阵是：[2,3,0,1,-4; 0,2,2,3,-7; 1,0,1,1,0；1,2,-1,3,-12].
首先交换第1行和第3行，使第一行第一列的元素为1，得到：[1,0,1,1,0; 0,2,2,3,-7; 2,3,0,1,-4；1,2,-1,3,-12].
然后第3行减第1行乘以2，第4行减第1行，把第一列除了第一个元素之外，都化为0，得到：[1,0,1,1,0; 0,2,2,3,-7; 0,3,-2,-1,-4；0,2,-2,2,-12].
接下来可以用第2行乘以二分之一把第二行第二列的元素化为1，也可以用第2行减第4行乘以二分之一。因为前者会产生分数，造成运算的麻烦，所以选择后者，得到：[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,3,-2,-1,-4；0,2,-2,2,-12].
用第3行减第2行乘以3，第4行减第2行乘以2，将第二列除了第二个元素之外，都化为0，得到：[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,0,-11,-7,-1；0,0,-8,-2,-10].
第3行除以-11，得到：[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,0,1,7/11,1/11；0,0,-8,-2,-10].
第4行加第3行乘以8，得到：[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,0,1,7/11,1/11；0,0,0,34/11,-102/11].
第4行乘以11/34，得到：[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,0,1,7/11,10/11；0,0,0,1,-3].
第3行减第4行乘7/11，得到：[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,0,1,0,2；0,0,0,1,-3].
第2行减第3行乘3再减第4行乘2，得到：[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,0,1,0,2；0,0,0,1,-3].
最后第1行减第3行再减第4行，就得到最简形矩阵：[1,0,0,0,1; 0,1,3,2,-1; 0,0,1,0,2；0,0,0,1,-3].
由此可以得到原方程组的解为：{a=1,b=-1,c=2,d=-3}.
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