初中几何经常会遇到题目中给出角平分线的问题，解题目标往往是边长之间关系。其实这类问题的解题方向非常明确，角平分线与边长相关的性质比较常用的只有三个，其中角平分长公式可以不掌握，也就是把角平分线的两个性质用活就行。这里按重要性程度的顺序总结一下。
定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
定理1的逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
这个证明是非常简单直观的。
在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线。那么过D做AB和AB的垂线，垂足分别为E和F。
因为∠BAD=∠CAD（角平分线），∠AED=∠AFD=90°，AD=AD
那么△AED与△AFD全等，于是有DE=DF。证毕。
同理，也通过证明三角形全等证明其逆定理。
定理2：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则AB/BD=AC/CD
（也可表示为AB/AC =BD/CD）。
定理2的逆定理： 在△ABC中，若 AB/BD=AC/CD，则AD是∠BAC的平分线。
这个定理的描述非常简单优美，证明需要一点小技巧。
证明：
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线
过点D作DE⊥AB，DF⊥AC
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
∵2S△ABD=AB×DE且2S△ACD=AC×DF
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC
又∵S△ABD：S△ACD=BD：CD（同高，面积比例为底边比例）
∴S△ABD:S△ACD=AB：AC=BD:CD
∴AB:AC=BD:CD
定理3：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则AD²=AB×AC-BD×CD（角平分线长公式）
这个定理的证明方法超出中学阶段教材的内容范畴，有兴趣的可以去研究一下几何中著名的斯特瓦尔特定理，根据斯特瓦尔特定理和角平分线的性质可以证明。
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 举报，一经查实，本站将立刻删除。
