对于值域问题,李金桥老师在我们的课上一共介绍了四种方法——单调性法、分离常数法、图像法、换元法。
一、单调性法
应用函数的单调性,可以求函数的值域,可以解决与值域有关的问题,可以求函数的最大值或最小值。
在利用函数的单调性求最值时要注意以下结论:
①若函数在定义域[a,b]上面是增函数,则当x=a时,函数取最小值,当x=b时,函数取最大值。
②若函数在定义域[a,b]上面是减函数,则当x=a时,函数取最大值,当x=b时,函数取最小值。
③若函数在[a,c]上面是增函数,在[c,b]上面是减函数,则当x=c时,函数取最大值,当x=a或x=b时,函数取最小值。
二、分离常数法
分离常数法主要是用来解决分式型函数的值域以及取值范围的。分式可以是一次分式也可以是二次分式。
① 分离常数法适用于解析式为分式形式的函数,则可分离常数进而求值域,当分式的分子和分母次数相同时,常可分离出一个常数来,称之分离常数法。
② 在含有两个量(一个常量和一个变量)的关系式(不等式或方程)中,要求变量的取值范围,可以将变量和常量分离(即变量和常量各在式子的一端),从而求出变量的取值范围。
三、图像法
利用图像法求值域,主要有两种题型,第一种是分段函数。每一段是基本初等函数变形变换的来的,第二种是给定性质的抽象函数。图像是函数的灵魂,画出图像值域就不言而喻了。
四、换元法
换元法求解析式主要有以下几大类型:
①一般换元法。对于一般换元法主要是两种形式,一种是根式形式,另一种是分式形式。
②三角换元。对于三角换元主要是在题目中出现x的平方项,或者利用万能公式。
③复合换元。对于复合函数而言往往把内层函数和外层函数剥离出来,所以可以把内层函数换为一个新的变量,从而简化式子。
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