一、函数的连续性
(1)函数连续的定义:
设
在
的某邻域内有定义。如果对任意的0″>
,总存在正数
,使当
(相较极限定义中
,少了左半边大于
的部分,这样保证了
可以取值为
,即
存在)时,不等式
,对比极限定义,有
,恰好证明了函数
在
点连续。
(2)函数单侧连续的定义:
如果函数 f(x)左极限
存在且等于
,则称
在
点左连续;如果右极限
存在且等于
,则称
于
点右连续。
注:①函数在一点连续的充要条件是在该点处既左连续又右连续。
② 如果函数
在开区间
内每一点连续,则称
是开区间
上的连续函数,或称
在开区间
上连续;函数
在闭区间
连续,是指
在开区间
连续,且于左端点
右连续,右端点
左连续。
二、闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x),有以下几个基本性质:
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