等积法定义:等积法是等面积法的简称,是指两个三角形等底等高,则两个三角形面积相等;或者同一个三角形面积相等。
等积法应用:
(1)如果两个三角形等底等高,运用等积法,即面积相等的性质。已知其中一个三角形的底和高或者面积,求另外一个三角形的底、高或面积,可以使题目得到简便的解答。
(2)在同一个三角形中,我们也可以利用“同一个图形的面积相等”的原理。已知三角形的面积或者已知一条边及其对应的高,求另外一条边或另外一条边所对应的高,从而使运算更为简便。
初中数学课堂
下面举例说明等积法在我们解题过程中是如何应用的:
一、利用等积法,推导平滑定理
原理:两个三角形底相同,高相等,那么两个三角形面积一定要等。
平滑定理在一次函数、二次函数题目求面积中有非常好的应用,有兴趣的读者可以参阅我的上篇文章《初中数学:平滑定理在二次函数求面积中的巧妙应用》。
二、利用等积法简化运算过程
我们现在以两个例题,来看看等积法是否有简化运算的作用。
例2、如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=BC=BD=2,AD=1,则AC=.
我们用 常规思路和等积法 两种方法来计算本题,进行比较:
法一:常规思路,利用勾股定理,构造方程求解
解:过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB交AB延长线于点F
∴∠AED=∠BED=∠F=90°
设AE=x,
∵AB=BC=BD=2,AD=1
∴BE=AB﹣AE=2﹣x
∵在Rt△ADE中,AE2+DE2=AD2,在Rt△BDE中,BE2+DE2=BD2
∴DE2=AD2﹣AE2=BD2﹣BE2
得:12﹣x2=22﹣(2﹣x)2
其余解题过程同方法一。
看看这样求DE是不是简单多了?
例3、如图,在平面直角坐标系中,△ABC ≌ △DEF,AB=BC=5,若点A的坐标为(-3,1),点B、C在直线y=-3上,点D在y轴的正半轴上,且点E的坐标为(0,-1),则点F的坐标为( )
解:如图,作FH⊥DE于点H,CG⊥AB于G。
∵点A到直线BC的距离为AK=1-(-3)=4 即F点横坐标
∵△ABC的面积 = BC×AK = AB×GC(等积法)
而AB = BC
∴ AK = GC = 4
∵△ABC ≌ △DEF
EF=BC=5
∴FH = CG = 4
∴EH=3 (根据勾股定理)
而E(0,-1)
∴HO = 3-1=2 即F点纵坐标
∴F(4,2)
关于等积法的巧妙应用今天就介绍到这里,希望每位每位同学在学习中养成认真思考,勤于归纳,举一反三的好习惯。
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