双曲线定义
1.第一定义
平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值为常数2a的动点P的轨迹叫做双曲线,其中2a<|F1F2|。此为课本上的标准定义,不再详述。
2.第二定义
平面内到定点F(±c,0)的距离和到定直线l:x=±a²/c的距离之比为常数e=c/a(e>1)的点的轨迹是双曲线。其中定点F(±c,0)为双曲线的左右焦点,定直线l:x=±a²/c为双曲线的左右准线。
对第二定义给出证明:
以右焦点和右准线为例:
上述定义即可作为判定定理也可作为性质定理。
双曲线方程
1.双曲线标准方程
不再详述。
2.双曲线参数方程
注:sec为正割函数,secθ=1/cosθ
其中θ为参数,θ的几何意义如下图:
以双曲线实轴和虚轴为直径分别做圆C1(图中大圆)、C2(图中小圆),对双曲线上任一点M,做x轴垂线,垂足为A’。过A’做圆C1切线,切点为A。过圆C2与x正半轴焦点B做圆C2的切线,与过M并平行于x轴的直线交于B’点。则O、A、B’三点共线,∠AOx即为参数θ。
切线
1.双曲线切线定理
双曲线的任意一条切线平分切点所在的焦点三角形顶角。
图中∠α=∠β,对顶角相等,切线是焦点三角形的一条角平分线。
证明从略。该性质在高考中应用较少,但其揭示了双曲线的一条光学性质,该性质在高中数学课本上也有提及,即从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,其反向延长线在另一个焦点汇聚。
2.双曲线切线方程
过双曲线上一点P(x0,y0)的切线方程为:
以下用求导方法给出证明:
上述证明过程用到了隐函数求导,高中范围不涉及该知识点,有兴趣的同学可以尝试用二次函数判别式推导。
3.双曲线切点弦方程
过双曲线外一点,做双曲线上的两条切线(如果存在的话),切点为A,B,则过A,B的切点弦方程为:
这里需要注意,过双曲线外(或上)一点做双曲线切线,最多只可能做两条切线。具体见下:
4.双曲线切线存在情况
如图:双曲线及渐近线将平面分成ABCDEF六个区域:
1.当P位于A、B区域时,过P可在双曲线两支各做一条切线;
2.当P位于C、D区域时,过P可在双曲线较近的一支做两条切线;
3.当P位于E、F区域时,过P不能做切线;
4.当P位于双曲线上时,过P只可在P点所在支做一条切线;
5.当P位于渐近线上(不含原点)时,过P只可在双曲线较近的一支做一条切线;
6.当P位于原点时,过P不能做切线;
具体列表如下:
直径
过双曲线中心的弦被称为双曲线的直径。实轴是双曲线最短的直径,双曲线直径可以无限长,故双曲线没有最长的直径。双曲线直径所在直线的斜率的绝对值必然小于渐近线斜率的绝对值。
1.双曲线直径性质
双曲线上的点与双曲线直径两端点连线的斜率(如果存在的话)之积是定值,定值为e²-1。
特别的:双曲线上任意点到实轴两端点连线斜率之积是定值e²-1。
2.双曲线直径长
双曲线直径长公式为:
其中k为直径所在直线斜率。该公式请同学们自行推导。显然,直径存在的充要条件是|k|<b/a。
特别的:当k=0时,上式结果为2a,即为实轴;当k趋于±b/a,即渐近线斜率时,上式结果趋于无穷大。
焦半径
1.焦半径长
焦半径长:|PF1|=|ex+a|,|PF2|=|ex-a|(F1,F2分别为左右焦点,P点在右支上时,等式右端绝对值内取正,P点在左支上时取负)。
通过准线定义证明,过程略。
2.焦半径性质
以短焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切,以长焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆内切。
以P点在右支上举例进行证明:
证:设以PF2为直径的圆的圆心为O2,则圆O2半径为r2=(ex-a)/2,
以长轴为直径的圆的圆心为坐标原点O,圆O半径为r=a,
两圆心距离|OO2|=(ex+a)/2=r+r2,
故以PF2为直径的圆与以长轴为直径的圆外切。
同理可证,以PF1为直径的圆与以长轴为直径的圆内切。
3.焦点弦
焦点弦长公式为:
其中k为焦点弦所在直线斜率。该公式请同学们自行推导。
当|k|<b/a时,焦点在焦点弦延长线上,当|k|>b/a时,焦点在焦点弦上,当|k|=b/a时,焦点弦不存在(或无限长)
特别的:当k=0时,上式结果为2a,即为实轴;当k趋于无穷大时,上式结果即为通径长:2b^2/a
4.焦点三角形
焦点三角形面积公式:
证明从略
双曲线与椭圆
双曲线两顶点A1,A2和与y轴平行的直线交双曲线的两动点P1,P2,直线A1P1与A2P2的交点轨迹为等轴椭圆。反之亦然。
其他
1.判别式
直线方程y=kx+m与双曲线方程联立后的,关于x的二次方程的判别式:
注:双曲线在联立方程时,首先要讨论b²-a²k²是否为0,如果为0,即直线斜率与渐近线斜率一致,则联立后关于x的方程为一次方程,不存在判别式问题。
2.一般弦长公式
双曲线一般弦长公式:
上述公式推导过程从略,显然,当m=0时,公式退化为直径公式;m=±kc,即直线过焦点时,公式退化为焦点弦公式;当|k|=b/a时,弦长不存在(或无限长)。
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