一.反比例函数的概念
- 概念：一般地，函数y=k/x（k是常数，k≠0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
注意：(1)比例系数k≠0是反比例函数的定义的重要部分;
(2)在反比例函数的解析式中,k,x,y均不等于0;
(3)反比例函数中的两个变量一定成反比例关系,
反之,则不一定成立
例1 给出的六个关系式:①x(y+1); ②y=2/(x+2); ③y=1/x²; ④y=1/2x; ⑤y=x/2 ; ⑥y=-3/x.其中y是x的反比例函数的是 ( )
A.①②③④⑥ B.③⑤⑥ C.①②④ D.④⑥
例2 若函数
是y关于x的反比例函数,则m= .
例3 关于正比例函数y=-x/3和反比例函数y=-1/3x的说法正确的是 ( )
A.自变量x的指数相同 B.比例系数相同
C.自变量x的取值范围相同 D.函数y的取值范围相同
2.易错点解析 漏掉k≠0这一条件
解答与反比例函数有关的问题时,要注意系数k≠0是反比例函数定义中必不可少的一部分,不能漏掉这一条件.
例4已知函数
为反比例函数,则k= .
二.反比例函数的图像和性质
1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2.反比例函数的性质
注意：y随x变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件。
例5 关于反比例函数y=3/x的图象,下列说法正确的是 ( )
A.图象经过点(1,1)
B.两个分支分布在第二、四象限
C.两个分支关于x轴成轴对称
D.当x<0时,y随x的增大而减小
例6.当x<0时,下列表示函数y=-1/x的图象的是 ( )
例7.下列反比例函数中,图象位于第二、四象限的是( )
A.y=2/x B.y=0.2/x C.y=√2/x D.y=-2/5x
例8.对于反比例函数y=(k-√10)/x,在每个象限内,y随x的增大而增大,则满足条件的非负整数k有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
三.反比例函数解析式的确定
由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
例9. 已知y是x的反比例函数,当x=5时,y=8.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)当x=6时,求y的值;
(3)当y=-10时,求x的值.
例10.已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,并且当x=-1时,y=-1,当x=2
时,y=5.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)当y=-5时,求x的值.
四.反比例函数中反比例系数k的几何意义及其常见模型
1.（常见模型结论及证明过程如图片）如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形BEOF的面积S=BEBF=。
注意：（1）利用k的几何意义求k的题，一定要注意算出来的是k的绝对值；
（2）反比例函数图象在第三象限时，k为正。
2.“三角形”化“梯形”模型
3.比例线段模型
4.等线段模型
5.中点模型
6.三垂直模型
7.山尖模型
例11.平行于x轴的直线与函数y1=a/x(a>0,x>0),y2=b/x(b>0,x>0)的图象分别交于A、B两点,且点A在点B的右侧,在x轴上取一点C,使△ABC的面积为3,则a-b的值为 ( )
A.6 B.-6 C.3 D.-3
例12.点A是反比例函数y=k/x的图象上一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B.点C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为4,则k的值是 .
例13.如图,点A,B是反比例函数y=k/x(x>0)图象上的两点,过点A,B分别作AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,连接OA、BC,已知点C(2,0),BD=3,S△BCD=3,则S△AOC等于 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
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