如图, 在坐标平面内, 抛物线y=ax^2+bx+1交y轴于A, 交x轴于B(4,0),交AD于D(3,5/2), 过D作DC⊥x轴, 垂足为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P在线段OC上(不与O,C重合), 过P作PN⊥x轴, 交AD于M, 交抛物线于N, 连接CM, 求△PCM面积的最大值;
(3)若P是x轴正半轴上的动点, 设OP=t, 是否存在t, 使以点M, C, D, N为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求点P的坐标; 如果不存在,请说明理由.
分析:(1)纯属送分题,直接运用待定系数法,第一步设函数解析式,已给,有两个系数未知,需要两个点,也已给;第二步代入已知两点(在函数图像上)的坐标,列二元一次方程组;第三步解二元一次方程组就可以了。这是非常基础的题目。
(2)这是要用△PCM的面积表示点P的横坐标的函数。一般是一个二次函数,因为二次函数开口向下时,必有最大值。这是思路,但未必如此,按这个思路进行下去,随机应变。
为了得到△PCM的高,或者说它的一条直角边PM,先求直线AD的解析式;
设 点P的坐标,用含点P的横坐标的式子表示PM和PC的长。
根据直角三角形面积等于两条直角边积的一半,就可以列得关于点P的横坐标的函数,这个函数表示的就是△PCM的面积,且正好是一条开口向下的抛物线,利用顶点式,求得PCM的最大值。
(3)若四边形MNDC是平行四边形, 则必有MN=CD,这是平行四边形对边相等的定理。也是平行四边形的必要条件。只要 抓住这样的一个必要条件去突破就可以了。
分别用点P的横坐标表示MN和CD的长,就可以列得关于点P的横坐标的方程,解方程,就可以了。
不过这里求MN的长,却有两种情形,这是千万要注意的。因为N点可能在M点的上方,也可能在M点的下方。这取决于点P在C点的左侧还是右侧。虽然有可能有一种情形不存在,但必须要说明。
下面是解题过程,请对照上面分析的内容,自己领会。
解:(1)列方程组{16a+4b+1=0, 9a+3b+1=2.5}
解得{a=-3/4, b=11/4}
∴抛物线的解析式为:y=-3x^2/4+11x/4+1.
解:(2)直线AD的解析式为:y=x/2+1, (由图可知其在y轴的截距就是抛物线在y轴的截距,因此参数b=1, 将D点的坐标代入y=kx+1求k,或者用D点和A点的纵坐标差除以横坐标差求k),
设P(t,0), 则PM=t/2+1, PC=3-t,
S△PCM=PC·PM/2=(t/2+1)(3-t)/2
=3t/4+3/2-t^2/4-t/2= -t^2/4+t/4+3/2
= -(t-1/2^)2/4+25/16,
当t=1/2时, S△PCM=25/16最大.
(3)若四边形MNDC是平行四边形,则MN=CD,
当P(t,0)在C点的左侧时,
(-3t^2/4+11t/4+1)-(t/2+1)=5/2
化简得:-3t^2+9t-10=0,
△=81-120<0, t不存在.
当P点在C点的右侧时, (t/2+1)-(-3t^2/4+11t/4+1)=5/2,
化简得: 3t^2-9t-10=0,
解得:t1=(9+根号201)/6, t2=(9-根号201)/6 (负数不符合题意,舍去).
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