齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

我们解决现实问题时可以自由选取其中任意一个作为模型。 我个人认为,线性方程组是最“质朴”的形式; 向量方程则是与几何建立了关系,这将方便我们进行更直观的推理; 矩阵方程则是向量方程的一种“封装”,是向量方程的一种抽象,它将具体的向量形式隐藏,提供给我们一个简洁的 API 形式——矩阵。 未来将要介绍的很多概念就是基于对这一层封装的研究,如果到时候我们发现某个概念理解有困难,不妨转换思路到向量方程或线性方程组的形式进行分析。

此外,我们之前还进行了关于线性方程组解集的讨论,在这章我们对其进一步探讨。

一、齐次线性方程组

形如 A x = 0 的线性方程组称为 齐次方程组 。 显然, x = 0 是方程的解,这个解太平凡了,以致于就叫 平凡解 。 我们平常更关心的是它还有没有别的解,即 非平凡解 。 下面以一个例子分析一下:

例: 判断下列齐次方程组是否有非平凡解,表示其解集。

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

对于这类求解集的问题,我们可以直接对增广矩阵化简,得到

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

从最后的行最简形式,我们可以得到解:

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

,其中 x 3 是自由变量。 所以 x 的通解就是

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

。 也就是说, A x = 0 的解是三维空间(因为向量 v 是三维的)中的一条直线(因为只有一个自由变量)。 进一步推广,我们不难想象,如果解集中有 p 个自由变量,则解集就是 m 维空间( m 为 A 的行数)中, p 个向量张成的空间。 如果没有自由变量(也就是 A 各列线性无关),那么就有 0 个向量张成的空间,即 Span { 0 } , A x = 0 也就只有平凡解。

二、非齐次线性方程组

非齐次线性方程组 形如 A x = b , 为了方便对比,我们把上面那个例子改为一个非齐次方程组进行分析:

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

老套路,我们对这个方程组的增广矩阵行化简:

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

化简后可以得到方程组的解为:

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

,其中 x 3 是自由变量。 我们把这个解集用向量的形式表示出来就是:

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

注意到这个向量可分解为一个常数向量

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

和一个可任意伸缩的向量

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

,而且,常数向量就是行化简后矩阵的最后一列,而

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

同样是齐次方程组的解。这是因为非齐次方程组只是最后一列由 0 换成了 b ,而且最后一列不会影响前面三列,所以齐次和非齐次方程组行化简后,变量的对应系数是相同的(系数矩阵就是前三列), 非齐次方程组的解仅仅只比齐次方程组的解多了一个常数向量 。 例如齐次方程组的解集为 x = t v ,则非齐次方程组的解集就是 x = p + t v ,其中 t 为任意实数。 从几何的角度来看,就是 齐次方程组的解集经向量 p 平移得到非齐次方程组的解集 。 这个 p 的学名就叫做 特解 。

注意,这里讲齐次方程组和非齐次方程组的解有一个前提,就是非齐次方程组首先要是有解的,如果 0 变成 b 导致方程组没有解,那么也就不能用齐次方程组的解集平移了。

结合之前总结的齐次线性方程组解的性质,当方程组含有 p 个自由变量时,齐次方程组的解集是 p 个向量的张成空间,而非齐次方程组解集只是这个空间进行了平移(前提是非齐次方程组有解),并没有改变这个空间的基本性质(比如空间的维度)。

三、列空间

矩阵

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

的各个列向量线性组合组成的集合,就是 A 的列空间。 记作 Col A ,即

Col A = Span { a 1 , a 2 , ⋯ , a n }

这个列空间,我们应该不陌生了,上一章中很多时候都是把矩阵看成列向量的排列,考虑 A x = b 的解的情况时其实就是在列向量中进行分析的。 列空间在分析矩阵中各列向量的线性相关性时很有帮助: 只有各列线性无关时,这 n 个列才能张成 n 维空间,这时就说这个矩阵的秩为 n ; 而假如这里面有 1 列和其他某列线性相关,那么这 n 个列就只能张成 n − 1 维空间,这个矩阵的秩就是 n − 1 ; 也就是说, 矩阵的秩说明了这个矩阵的列向量最多能张成多少维 。

如下图中, A = [ a 1 a 2 a 3 ] ,由于有两个向量线性相关,导致 3 个列向量只能张成 2 维,因此 A 的秩为 2。 所以 A x 得不到任意三维向量 b ,也就是 A x = b 并不对所有 b 成立(只有 b 是 A 列空间中的向量时才成立)。

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

更进一步,非齐次线性方程组 A x = b 中,如果 A 已知, x 和 b 未知,此时我们关注的问题是 A 的列向量能张成多少维;如果 A 和 b 已知,我们关注的问题就是 A 中 n 个列向量如何线性表示能表示成 b ,这时候我们如果提前知道 A 的列空间达不到 b 的维数,那么这些列向量就一定无法线性组合出 b 。

四、零空间

齐次方程 A x = 0 的全部解组成的集合,称为矩阵 A 的零空间,记作 Nul A 。

当 A 中的列向量线性无关时, A x = 0 只有零解,这时 A 的零空间就是 0 ; 而只要 A 中的列向量线性相关, A x = 0 就存在非零解,这时 A 的零空间就是一个维度大于 0 的空间。

关于列空间和零空间的讨论先在这里打住,之后会进一步讨论它们之间的关系和各自的意义。 目前只要知道列空间是由 A 的列向量张成的,而零空间的意义更隐晦一些,是 A x = 0 的所有解组成的空间。从列空间能看出 A 各列的线性相关关系,列向量越相关,列空间维度越低。 从零空间也能看出 A 各列的线性相关性,列向量越相关,零空间维度越高。 而负责量化描述 A 列向量有多么线性相关的,是一个叫做 秩 的东西。

版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 举报,一经查实,本站将立刻删除。

(0)
上一篇 2024年5月8日 上午12:42
下一篇 2024年5月8日 上午12:43

相关推荐

  • 网上测名字准吗(姓名测试打分准不准)

    前几天一个朋友发给我一个取名网站上的截图,上面显示她小孩的名字评分较低,根据网站分析,她小孩将来的运势会不尽人意,朋友因此惶恐焦虑。 很多人都有这样的疑惑,取名网上的姓名评分到底可不可信,在这里,我实事求是地解答一下。 相信有很多懂得八字命理的易友都了解,那些网上的姓名测评,实际是根据康熙字典的繁体字解析笔画,用五格数理,即天格、人格、地格、外格、总格,以及…

    2022年12月4日
    340
  • 福州中考志愿填报流程梳理(福州五中是格致中学吗)

    福州五中即现在的“福州格致中学”属于一类达标校!!!在福州仅次于一,三,附,近几年的分数线都在福州市区第4位左右,有160年历史,在这几年的在中考招生中相当牛。有实力的话就去报吧。高一时候期末考能考到

    2022年10月19日
    820
  • 纯电阻电路是什么意思(电阻器的15个典型应用电路)

    纯电阻电路 纯电阻电路是指电路中只含有电阻元件的电路,电路中能量的转化是从电能转化到另一种能量,二者是一一对应的关系。例如:白炽灯、电炉、熨斗等都可以看作纯电阻电路。在纯电阻电路中欧姆定律和焦耳定律成立。然而任何一种电路都可以简化为串联或并联电路。 (1)纯电阻串联电路 如图3-30所示,电路中有两个电阻R1和R2,两个电阻头尾相连,这种连接方式就是串联。在…

    2023年1月5日
    140
  • 挖金客开启申购(单一账户申购上限17000股)

    今日有不少新股申购,挖金客就是其中之一,不少人都想要通过打新股获利的。那么,挖金客开启申购,单一账户申购上限17000股,该新股的发行价格和具体的申购信息如何呢?挖金客新股申购挖金客是一家移动互联网应

    2022年10月2日
    430
  • 扇形侧面积的计算公式(弧长与扇形面积公式是什么)

    一.扇形的定义: 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫扇形 1.弧长公式: 2.扇形面积公式: 注:半径为R,n指圆心角 推导过程:s= .π = × = lr 3.圆锥的相关概念: 4.圆锥侧面展开图扇形的半径等于母线的长 5.侧面展开图的弧长等于底面周长 6.圆锥的侧面积等于扇形的面积 根据关系填空: 例: 7.圆锥的全面积 例:

    2023年2月19日
    300
  • 兰州疫情几号结束全面解封,预计兰州疫情结束时间

    进入7月以来,国内多地出现本土病例,而兰州疫情目前的新增阳性感染者还是比较多的,且涉及多个区域,形势严峻复杂。那么,兰州疫情几号结束全面解封?下面来预计兰州疫情结束时间。兰州疫情

    2022年9月8日
    1.1K0
  • 搭载全新1.5T四缸机吉利缤越COOL亮相:四出排气真够劲!

    7月11,快科技从吉利官方获取了一组全新缤越COOL的预告图,该车基于BMA架构打造,采用了全新的1.5T四缸发动机。外观来看,该车使用了分体式格栅,官方名为“狂暴进气格栅”,上方为传统的摘条幅盾形结

    2022年9月12日
    650
  • 可以将每月的公积金用来还月供吗(公积金冲还贷办理流程)

    贷款办理下来后,每月的还款压力也是存在的,为此不少人会想到公积金账户余额,那么可以将每月的公积金用来还月供吗?可以将每月的公积金用来还月供吗用户可以将每月缴纳的公积金用来归还房贷的月供。用户与公积金中

    2022年8月26日
    700
  • 软妹子什么意思(什么样的女生叫软妹子)

    大家好,又到了米迦儿我单口相声时间,今天的主题是软妹。 软妹一种现实世界非常稀有的生物。 这软妹从字涵义来看,意思看很简单,软,清软代表长相柔弱,柔软表示身娇,耳软表示性格温和,软语表示音色柔美。 而从广义上来说,那些具备目光柔和,嗓音轻柔,腰身柔软,性格温柔等外部特征,且体贴,有着天然呆等萌属性的年轻女性,都可以称为软妹。 下面放出几张软妹子的图片。 如何…

    2022年12月19日
    320
  • 从4699元跌至3969元,3D玻璃机身+12G,耗资2亿现无奈清仓价

    让人没有想到的是,当年DXOMARK榜单中第一名的小米11Ultra,如今开启了全面降价促销,降价力度达到了1500元可谓十分优惠。而且为了能够让小米11Ultra提升销量,雷军还亲自为小米11Ultra站台,可见这次小米手机对小米11Ultra的清仓力度非常重视,同时也意味着小米12Ultra要来了。除了小米11Ultra之外,还有一部手机搭载了和小米11Ultra同样规格的传感器,并且小米曾投…

    2022年4月29日
    870

联系我们

400-800-8888

在线咨询: QQ交谈

邮件:admin@example.com

工作时间:周一至周五,9:30-18:30,节假日休息

关注微信