齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

我们解决现实问题时可以自由选取其中任意一个作为模型。 我个人认为,线性方程组是最“质朴”的形式; 向量方程则是与几何建立了关系,这将方便我们进行更直观的推理; 矩阵方程则是向量方程的一种“封装”,是向量方程的一种抽象,它将具体的向量形式隐藏,提供给我们一个简洁的 API 形式——矩阵。 未来将要介绍的很多概念就是基于对这一层封装的研究,如果到时候我们发现某个概念理解有困难,不妨转换思路到向量方程或线性方程组的形式进行分析。

此外,我们之前还进行了关于线性方程组解集的讨论,在这章我们对其进一步探讨。

一、齐次线性方程组

形如 A x = 0 的线性方程组称为 齐次方程组 。 显然, x = 0 是方程的解,这个解太平凡了,以致于就叫 平凡解 。 我们平常更关心的是它还有没有别的解,即 非平凡解 。 下面以一个例子分析一下:

例: 判断下列齐次方程组是否有非平凡解,表示其解集。

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

对于这类求解集的问题,我们可以直接对增广矩阵化简,得到

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

从最后的行最简形式,我们可以得到解:

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

,其中 x 3 是自由变量。 所以 x 的通解就是

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

。 也就是说, A x = 0 的解是三维空间(因为向量 v 是三维的)中的一条直线(因为只有一个自由变量)。 进一步推广,我们不难想象,如果解集中有 p 个自由变量,则解集就是 m 维空间( m 为 A 的行数)中, p 个向量张成的空间。 如果没有自由变量(也就是 A 各列线性无关),那么就有 0 个向量张成的空间,即 Span { 0 } , A x = 0 也就只有平凡解。

二、非齐次线性方程组

非齐次线性方程组 形如 A x = b , 为了方便对比,我们把上面那个例子改为一个非齐次方程组进行分析:

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

老套路,我们对这个方程组的增广矩阵行化简:

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

化简后可以得到方程组的解为:

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

,其中 x 3 是自由变量。 我们把这个解集用向量的形式表示出来就是:

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

注意到这个向量可分解为一个常数向量

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

和一个可任意伸缩的向量

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

,而且,常数向量就是行化简后矩阵的最后一列,而

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

同样是齐次方程组的解。这是因为非齐次方程组只是最后一列由 0 换成了 b ,而且最后一列不会影响前面三列,所以齐次和非齐次方程组行化简后,变量的对应系数是相同的(系数矩阵就是前三列), 非齐次方程组的解仅仅只比齐次方程组的解多了一个常数向量 。 例如齐次方程组的解集为 x = t v ,则非齐次方程组的解集就是 x = p + t v ,其中 t 为任意实数。 从几何的角度来看,就是 齐次方程组的解集经向量 p 平移得到非齐次方程组的解集 。 这个 p 的学名就叫做 特解 。

注意,这里讲齐次方程组和非齐次方程组的解有一个前提,就是非齐次方程组首先要是有解的,如果 0 变成 b 导致方程组没有解,那么也就不能用齐次方程组的解集平移了。

结合之前总结的齐次线性方程组解的性质,当方程组含有 p 个自由变量时,齐次方程组的解集是 p 个向量的张成空间,而非齐次方程组解集只是这个空间进行了平移(前提是非齐次方程组有解),并没有改变这个空间的基本性质(比如空间的维度)。

三、列空间

矩阵

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

的各个列向量线性组合组成的集合,就是 A 的列空间。 记作 Col A ,即

Col A = Span { a 1 , a 2 , ⋯ , a n }

这个列空间,我们应该不陌生了,上一章中很多时候都是把矩阵看成列向量的排列,考虑 A x = b 的解的情况时其实就是在列向量中进行分析的。 列空间在分析矩阵中各列向量的线性相关性时很有帮助: 只有各列线性无关时,这 n 个列才能张成 n 维空间,这时就说这个矩阵的秩为 n ; 而假如这里面有 1 列和其他某列线性相关,那么这 n 个列就只能张成 n − 1 维空间,这个矩阵的秩就是 n − 1 ; 也就是说, 矩阵的秩说明了这个矩阵的列向量最多能张成多少维 。

如下图中, A = [ a 1 a 2 a 3 ] ,由于有两个向量线性相关,导致 3 个列向量只能张成 2 维,因此 A 的秩为 2。 所以 A x 得不到任意三维向量 b ,也就是 A x = b 并不对所有 b 成立(只有 b 是 A 列空间中的向量时才成立)。

齐次方程和非齐次方程的区别(线性方程组的解集及其几何意义)

更进一步,非齐次线性方程组 A x = b 中,如果 A 已知, x 和 b 未知,此时我们关注的问题是 A 的列向量能张成多少维;如果 A 和 b 已知,我们关注的问题就是 A 中 n 个列向量如何线性表示能表示成 b ,这时候我们如果提前知道 A 的列空间达不到 b 的维数,那么这些列向量就一定无法线性组合出 b 。

四、零空间

齐次方程 A x = 0 的全部解组成的集合,称为矩阵 A 的零空间,记作 Nul A 。

当 A 中的列向量线性无关时, A x = 0 只有零解,这时 A 的零空间就是 0 ; 而只要 A 中的列向量线性相关, A x = 0 就存在非零解,这时 A 的零空间就是一个维度大于 0 的空间。

关于列空间和零空间的讨论先在这里打住,之后会进一步讨论它们之间的关系和各自的意义。 目前只要知道列空间是由 A 的列向量张成的,而零空间的意义更隐晦一些,是 A x = 0 的所有解组成的空间。从列空间能看出 A 各列的线性相关关系,列向量越相关,列空间维度越低。 从零空间也能看出 A 各列的线性相关性,列向量越相关,零空间维度越高。 而负责量化描述 A 列向量有多么线性相关的,是一个叫做 秩 的东西。

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