知识点梳理:
1、两个集合之间的包含关系——子集、真子集与全集
(1)子集、真子集
定义1:对于两个集合与,如果集合的任何一个元素都属于集合,那么集合叫作集合
的子集,记作:或(读作:包含于或包含)
注1:(1)有两种可能:①中所有元素是中的一部分元素;②与是中的所有元素都相同;(2)空集是任何集合的子集;任何一个集合是它本身的子集;(3)判定是的子集,即判定“任意”.
定义2:对于两个集合A与B,如果且,那么叫做集合等于集合,记作=(读作集合等于集合
);注2:(1)如果两个集合所含的元素完全相同,那么这两个集合相等;[来源:学|科|网]
(2)判定,即判定“任意,且任意”.定义3:对于两个集合与,如果,并且中至少有一个元素不属于,那么集合叫做的真子集,记作:或,读作真包含于或真包含.注2:(1)空集是任何非空集合的真子集,
(3)子集与真子集符号的方向
(4)易混符号:①“”与“”②与
2、两个集合的运算关系——交集、并集、补集
(1)交集
定义:由所有属于集合
的元素所组成的集合,叫做集合,记作,即根据定义可知是由集合的公共元素组成的集合,如果集合没有公共元素,则,这一条可以看成是对定义的补充,所以又有了
(2)并集
定义:由所有属于集合
或属于集合的元素所组成的集合,叫做集合与集合的并集,记为,即
(3)补集
n 全集定义
如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,记作
U。
[说明]①在研究集合与集合之间关系时,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个确定的集合就是全集。②解决某些数学问题时,有时把实数集R看作全集U,有时把有理数集Q看作全集U,有时把正整数集合看作全集U。
n 补集定义
一般地,设U为全集,A是U的一个子集(即A
U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫做集合A在全集U中的补集,记作CuA,即CuA={x|x∈u,且
x
A},读作“A补”。
举例说明:解决某些数学问题时,如果
把实数集看作是全集U,那么有理数集Q的补集CuQ就是全体无理数的集合
补集的性质
① A∩CuA=φ ② A∪CuA=U ③ Cu(CuA)=A
[说明]A的补集是相对于全集而言的,补集的叙述要完整,必须指明是在某个全集中的补集。
4、运算律
(1)根据交集和补集的定义容易知道,交集与并集满足交换律,即
(2)根据子集和真子集的定义易知包含关系满足传递性,即若
(3)交集运算满足结合律,即
(4)
典型例题
例1、已知集合
_________
例2、已知全集,且,求
例3、设全集
例4、若集合A=
,当全集U分别取下列集合时,写出CuA。(补充)
① U=
② U=
③U=
例5、设U={a,b,c,d,e},A={a,b},B={b,c,d},
① 求CuA∩CuB,Cu(A∩B),Cu(A∪B)
,CuA∪CuB
②从上述结论中,你发现有什么结论?
③对任意的集合A,B,请你用集合的图示法说明是否有以上结论
巩固练习
(1)U={高一(1)班的所有学生},A={高一(1)班的女生},B={高一(1)班的学生干部},求A,B,
的补集并说明其实际意义。(课本P15习题1.3(3))
(2) 若U={三角形},B={锐角三角形},则CuB= 。
(3)若U={1,2,4,8},A=ø,则CuA= 。
(4)若U={1,3,a2+2a+1},A={1,3},CuA={5},则a= 。
(5) 已知A={0,2,4},CuA={-1,1},CuB={-1,0,2},求B= 。
(6)设、,集合,则( )
(7)定义集合运算:,设,,则集合
的所有元素之和为( )
(8)若、、为三个集合,,则一定有( )
(9)已知,,若,则实数
(10)设为全集,是的三个非空子集,且,则下面论断正确的是( )
(11)设,对任意实数恒成立,则下列关系中成立的是( )
(12)已知A={x∣x+4x=0 },B={ x∣x+2(a+1)x+a-1=0}
1) 若A
B=B,求a的值
2) 若A
B=B,求a的值
课后练习
一、选择:
1、设集合
M=
,
R,
R
,N=
,
R,
R
,则集合
中元
素的个数为 (
)
(A)1
(B)2 (C)3 (D)4
2、已知集合M={x|x2+14x+48<0},S={x|2a2+ax-x2<0},若M S,则实数a∈ ( )
A.
B.[-3,6] C.
D.
3、设全集U={(x,y
)|x、y∈R},集合M={(x,y)|
=1| N={(x,y)|y≠x+1}那么M∪N的补集等于( )
A.0
B.{(2,3)} C.(2,3) D.{(x,y)|y=x+1}
4、设集合
,
,那么“
”是“
”的(
)
A.充分而
不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5、设P和Q是两个集合,定义集合
=
,如果
,
那么
等于( )
A.{x|0<x<1
} B.{x|0<x≤1} C.{x|1≤x<2} D.{x|2≤x<3} [来源:学科网ZX
XK]
二、填空:
6、设集合
A={5,
},集合B={
,
}.若A
B={2},则A
B=
7、设非空集合A={x|-2≤x≤a}, B={y|y=2x+3,x
A}
, C={z|z= x
,x
A },且B∩
C
=C,则实数a的取值范围。[来源:Z#xx#k.Com]
8、定义差集:M-N={x|x
M,且x
N},若M={2,4,6,8,10
}
N={1,2,3,4,
5},则M-(M-N)=
9、集合M={(x,y)│y
=
,x,y∈R},N={(x,y)│x=
1,y∈
R},则M∩N=_______
10、设集合M={x│m≤x≤m+
},N={x│n-
≤x≤n},且M,N都是集合I={x│0≤x≤1}的子集。如果把b-a称为集合{x│a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度“的最小值是_____________
______
三、解答
11、已知A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-3x+2=0},且A∪B=B,求p、q的关系或p、q
的值。[来源:学科网ZXXK]
12、已知集合
求实数
的取值范围。
[来源:学科网ZXXK]
13、已知集合
,集合
,若
,求实数
的取值
范围。
14、已知集合
,集
合
⑴若
,求正数
的取值范围;⑵若
,求正数
的取值范围
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