一、曲面方程的概念
平面曲线方程L是满足方程F（x,y）=0的点的轨迹。
x+2y+3=0 x^2+y^2=4
如果空间曲面S与三元方程
F（x,y,z）=0 ①
有如下关系：
（1）S上任一点的坐标都满足方程①
（2）不在S上的点的坐标都不满足方程①
则称方程①为曲面S的方程，曲面S为方程①的图形。
例：求球心在点M0（x0，y0,z0）,半径为R的球面方程。
解：设M（x，y，z）是球面上任意一点，则|M0M|=R,即
若球心在原点（0,0,0），则球面方程为
x^2+y^2+z^2=R^2.
例：已知点A(1,1,0)和点B（2,1,1），求线段AB的垂直平分面的方程
解：设M（x,y,z）是所求垂直平分面上任意一点，则有|AM|=|BM|，即
例：判断方程x^2+y^2+z^2-2x-4y-2z=3对应的曲面形状。
方程配方变形为（x-1）^2+(y-2)^2+(z-1)^2=9
显然这是一个球面方程，点M0(1,2,1)为球心3为半径的球面。
通过以上三个例子，我们发现空间解析几何中曲面研究的两个问题：
（1）已知曲面，建立方程
（2）已知方程，研究其所表示的曲面的形状
二、旋转曲面
1.定义：一平面曲线C绕同一平面内的一定直线L旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面。曲线C称为旋转曲面的母线，直线L称为旋转曲面的轴。
绕z轴旋转一周得一旋转曲面。
当C绕z轴旋转时,点M0旋转到点M（x，y，z），在此旋转过程中，z坐标不变，即Z=Z0；点到z轴的距离不变，即
将Z0=z，
代入f（X0，Z0）=0得点M应满足的方程为
yoz坐标面上的已知曲线f（y,z）=0绕z轴旋转一周的旋转曲面方程为
同理：yoz坐标面上的已知曲线f（y，z）=0绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为
小结：只要将母线C的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其他两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。
例：将xoz坐标面上的椭圆x^2/4+z^2/9=1绕x轴旋转一周所形成的图形。
旋转椭球面
三、柱面方程
一动直线L沿定曲线C移动而形成的曲面称为柱面，定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线。
例：
方程x^2+y^2=R^2在xoy平面上表示以原点为圆心，R为半径的圆C.在空间直角坐标系中，这个方程不含竖坐标z,不论z怎么变，只要x，y满足方程，则点（x，y，z）就在方程所表示的曲面上。
如：若点M（x，y，0）在xoy面内的圆x^2+y^2=R^2上，过M作平行于z轴的直线L，显然L上的点都满足方程x^2+y^2=R^2
即曲面x^2+y^2=R^2是由平行于z轴的直线沿圆移动形成的，是以圆为准线的柱体面
柱面举例：
x^2=2y表示母线平行于z轴的抛物柱面
x-y=0表示母线平行于z轴的平面
从柱面方程看柱面的特征：
只含x，y而缺z的方程F（x，y）=0，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线xoy面上曲线C。（其它类推）
实例：
思考：
四、二次曲面
由三元二次方程F(x,y,z)=0表示的曲面称为二次曲面，而把平面称为一次曲面。
对二次曲面，主要关心的是其形状，这可以通过截痕法和旋转伸缩法来掌握。
截痕法是用平行于坐标面的平面去截曲面，由截口的形状来了解曲面的形状。
旋转伸缩法是用来揭示曲面是由哪条曲线经旋转、伸缩形成的，并由此想象曲面的形状。
伸缩法介绍：
有曲线C：F（x，y）=0,设想把C沿y方向伸缩λ倍变成曲线C’，C”的方程为？？
不妨设变形之后的图形上任取一点（x，y）,这个点是原曲线F（x，y）=0上点（x0，y0），经过沿y方向伸缩λ倍后得到的
把圆x^2+y^2=a^2沿y轴方向伸缩b/a倍，得
即x^2/a^2 + y^2/b^2=1
介绍六种二次曲面
（一）椭圆球
x^2/a +y^2/b +z^2/c^2=1
椭圆球与三个坐标面的交线：
（1）椭球面x^2/a^2 +y^2/b^2 +z^2/c^2=1
①先把xoz面上的椭圆x^2/a^2 +z^2/c^2=1绕z轴旋转得旋转椭球面：
（x^2+y^2）/a^2 +z^2/c^2=1
②再把旋转球面沿y的方向伸缩b/a倍，得椭球面
当a=b=c时，椭球面成为在球心在原点、半径为a的球面。
（二）单叶双曲面
x^2/a^2 +y^2/b^2-z^2/c^2=1
(2)单叶双曲面x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1可视为把xoz面上的双曲线x^2/a^2-z^2/c^2=1先绕z轴旋转，再沿y轴方向伸缩b/a倍而得。
（三）双叶双曲面
x^2/a^2-y^2/b^2-z^2/c^2=1
(3)双叶双曲面x^2/a^2-y^2/b^2-z^2/c^2=1
可视为把xoz面上的双曲线x^2/a^2 -z^2/c^2=1先绕x轴旋转，再沿y轴方向伸缩b/c倍而得。
（四）椭圆抛物面
x^2+y^2=z
例如，用平面z=k去截平面，显然截面是椭圆
故平面x^2+y^2=z称为椭圆的抛物面。
（4）把xoz面上的抛物线x^2/a^2=z先绕z轴旋转，再沿y轴方向伸缩b/a倍而得
（五）椭圆锥面
椭圆锥面x^2/a^2 +y^2/b^2=z^2
亦可用平面z=k截曲面，其截面
是z=k平面上的椭圆：
当|k|从大到小再到0时，这簇椭圆亦从大到小再缩为一点。
椭圆锥面x^2/a^2+y^2/b^2=z^2
把xoz面上的直线x=az先绕z轴旋转，再沿y轴方向伸缩b/a倍而得。
（六）双曲抛物面（马鞍面）
x^2/a^2 -y^2/b^2=z
(6)双曲面x^2/a^2 -y^2/b^2=z
用z=k平面去截曲面，截面为z=k平面上的双曲线
用x=k平面去截曲面，截面为平面x=k上的抛物线：
故此曲面称为双曲抛物面，又称为马鞍面。
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