所谓函数的凹凸性，是指函数图像弯曲方向的一个性质。
由于各个教材对于凹凸性的定义并不统一，所以，我们只介绍一种较为直观，符合我们传统认知的一种定义。
如下图：
定义：设函数在其定义域内某区间[a,b]上连续，如果函数曲线上任意一点的切线都位于曲线的上方，则该函数在该区间内为凸函数，反之，称该函数在该区间为凹函数。
上述定义较为通俗，易于理解，符合我们国内的传统认知，往外鼓起来的一个小土堆，我们传统认识就是凸出来的，陷入地平以下的小水坑，我们就说它是凹进去的。
这里有一个很有意思的现象：我们认为是往下凹的曲线，在数学上的定义是下凸，也就是向下凸起；我们认为是鼓起来的凸曲线，在数学上的定义是上凸。
这显然造成了一些定义上的混乱，尤其在你上了大学之后，你会发觉，如果工科院校使用的高数课本和理科院校使用的课本不一致的话，两个人可能会因为这种定义的不同发生激烈的争吵，如果有点私仇的话，可能还会动手干上一架，反正名义上的理由很高大上，那就是为了真理的完美性。
但实际上，定义虽然不同，但并不影响我们对这种弯曲形象的描述，因为对同一个弯曲形象的判断，在数学上采取的计算方法是一致的。
好，关于定义上的争论我们就此打住，直接进入判断方法上的介绍。
一般而言，如果函数能画出图像，那就通过上述定义，在图像上任取一点，作这点的切线，然后观察这个切线和曲线的相互位置就好了
切线在图像之上——凸函数
切线在图像之下，凹函数：
还有一种几何方法，就是在图像上连接任意两点，如果这个连线在图像上的上方，那就是凹函数，反之就是凸函数，图就不放了，和本文的第一幅图一样。
但是，如果这个函数很复杂，你没有办法画出它的准确图像，上述的两种方法都失效了，没办法做切线，也没办法做两点的连线。此时，我们只能采取另一种计算的办法：
我们可以在需要确定凹凸性的区间内取两个不同的自变量的值，一大一小，如果二者对应的函数值相加之和的一半，比两个自变量的中间值对应的函数值要大，那这个函数在这个区间内就是凸函数，反之就是凹函数。
用代数方法表示就是：
这种方法实际上是函数凹凸性的另一种定义而已，我们拿来直接运算就可以了。
如果你嫌这种计算方法麻烦，你还可以采取对函数求导的方式判断曲线的弯曲方向：
如果一个函数在区间D上连续，它的一阶导数在几何意义上等于函数在这个点的切线斜率，斜率大于零，表明单调递增；如果对这个一阶导继续求导，得到函数的二阶导数，这个二阶导在几何意义上就是表征函数曲线的切线斜率值的变化，如果二阶导一直小于零，说明函数曲线所在点的切线斜率是下降的，只能说明这个曲线越来越平缓，也就意味着是凸函数。
如下图：
同理，二阶导如果一直大于零，说明函数的曲线的切线斜率是递增的，那也就意味着函数是凹函数。
以上就是常用的几种较为简单的判断函数凹凸性的方法，很直观，很凑手，理解和使用起来都很接地气。
还是那句话：以上所议的这些方法，只是我们国内教材对函数凹凸性的定义，是根据函数图像的趋势来定义和判断的。外国人的脑洞和我们不一样（这玩意是我们学的他们，如果说我们脑洞和他们不同也行），他们的定义和结论和我们相反，你如果学的是国外的教材，那得出的结论大致和我上面的结论也是相反的，假如你说我错了，那我也没办法，我只能承认你对，虽然判断方法和依据是相同。
那么研究函数的凹凸性有什么用途呢？
凹凸性的主要应用于使用放缩法求解不等式。因为如果是凸函数，在凸函数区间内，它的函数值肯定大于自变量的值。
同样，如果是凹函数，在特定的区间内，函数值肯定小于自变量的值（以y=x为基准进行比较容易理解）
这个特性，在求解不等式的时候相当有用， 2021新高考第一卷的22题，这个题的最后一问，如果使用这种放缩法，可以快速求解。我把它贴在下面，大家可以试试。
2021新高考数学1卷第22题：
感谢阅读。如有错讹或更好的建议，烦请留言，一起探讨。
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 举报，一经查实，本站将立刻删除。
